立体几何

数学上，立体几何(Solid geometry)是3维欧氏空间的几何的传统名称—-因为实际上这大致上就是我们生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。立体测绘(Stereometry)处理不同形体的体积的测量问题：圆柱，圆锥，锥台，球，棱柱，楔， 瓶盖等等。毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。

基本课题

课题内容

包括：

-面和线的重合

-二面角和立体角

-方块，长方体，平行六面体

-四面体和其他棱锥

-棱柱

-八面体，十二面体，二十面体

-圆锥，圆柱

-球

-其他二次曲面：回转椭球，椭球，抛物面，双曲面

公理：

立体几何中有4个公理

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。

三垂线定理

在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。

1、三垂线定理描述的是PO(斜线)，AO(射影)，a(直线)之间的垂直关系。

2、a与PO可以相交，也可以异面。

3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。

关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂，二射，三证。即

第一，找平面(基准面)及平面垂线；

第二，找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线；

第三，证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。

注：

1.定理中四条线均针对同一平面而言；

2.应用定理关键是找"基准面"这个参照系。

用向量证明三垂线定理。

1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，b∈α，且b⊥OA，求证：b⊥PA。

证明：∵PO⊥α，∴PO⊥b，又∵OA⊥b向量PA=（向量PO 向量OA）

∴向量PA乘以b=（向量PO 向量OA）乘以b=（向量PO乘以b）加（向量OA乘以b）=O，

∴PA⊥b。

2.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，b∈α，且b⊥PA，求证：b⊥OA。

证明：∵PO⊥α，∴PO⊥b，又∵PA⊥b，向量OA=（向量PA-向量PO）

∴向量OA乘以b=（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA乘以b）减 （向量PO乘以b ）=0，

∴OA⊥b。

3.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，求交线OA于平面OBC所成的角。

向量OA=（向量OB 向量AB），O是内心，又因为AB=BC=CA，所以OA于平面OBC所成的角是30°。

二面角

定义

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面）

平面角

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

大小范围

范围为：0≤θ≤π；

相交时0<θ<π，共面时θ=π或0。

求法

有六种：

1.定义法

2.垂面法

3.射影定理

4.三垂线定理

5.向量法

6.转化法

二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。

由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1，n2的坐标求出来。然后根据n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α。

二面角的通常求法：

（1）由定义作出二面角的平面角；

（2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；

（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；

（4）空间坐标求二面角的大小。

其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。

（3）中利用三垂线定理求二面角，如图，前提条件是平面α与平面β的交线为l。直线AB垂直于平面β于B点，交α于A点，步骤是：

第一步，过B作BP垂直于l于P。

第二步，连接AP。则∠APB为二面角A-l-B的平面角。

第三步，求出∠APB的大小，即为二面角A-l-B的大小。

如果是利用三垂线逆定理，前提条件相同，步骤是：

第一步，过A作AP垂直于l与P。

第二步，连接BP。则∠APB为二面角A-l-B的平面角。

第三步，求出∠APB的大小，即为二面角A-l-B的大小。

基本步骤

（1）作出二面角的平面角：

A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；

B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；

C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。

（2）证明该角为平面角；

（3）归纳到三角形求角。

另外，也可以利用空间向量求出。

相关关系

二面角的大小就用它的“平面角”来度量。二面角的平面角大小数值就等于二面角的大小。

空间向量

向量描述

直线的方向向量：向量所在直线和直线平行或重合的向量叫做直线的方向向量。点的位置向量：选一点作为基点，空间中任意一点可用向量OP表示。

平面的法向量：如果α所在的直线垂直于平面β，那么α是β的法向量。

空间的角

直线所成的角：设直线m、n的方向向量为a、b，m，n所成的角为a。

cosa=cos=a*b/|a||b|

直线和平面所成的角：设直线m的方向向量为a，平面e的法向量为c。

设b为m和e所成的角，则b=π/2±，sinb=|cos|=|a*c|/|a||c|

距离求解

异面直线的距离：l1、l2为异面直线，l1，l2公垂直线的方向向量为n，C、D为l1、l2上任意一点，l1到l2的距离为|AB|=|CD*n|/|n|

点到平面的距离：设PA为平面的一条斜线，O是P点在a内的射影，PA和a所成的角为b，n为a的法向量。

易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离；

平面到平面的距离为在平面上一点到平面的距离；

点到直线的距离：A∈l，O是P点在l上的射影，PA和l所成的角为b，s为l的方向向量。易得：

|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|

线面方程

定义

平面：在空间中，到两点距离相等的点的轨迹叫做平面。

直线：同时属于两个平面的点的轨迹。

或：在平面里，到两个点距离相等的点。

方程

平面：根据定义，设动点为M（x，y，z），两点分别为（a，b，c）和（d，e，f）

则[(x-a)^2 (y-b)^2 (z-c)^2]^1/2

=[(x-d)^2 (y-e)^2 (z-f)^2]^1/2x^2-2ax y^2-2by z^2-2cz(a^2 b^2 c^2)

=x^2-2dx y^2-2ey z^2-2fz (d^2 e^2 f^2)(2d-2a)x (2e-2b)y (2f-2c)z (a^2-d^2 b^2-e^2 c^2-f^2)

=0

形式为ax by cz d=0。

直线：根据定义，可列方程组：

ax by cz d=0

ex fy gz h=0

得其形式是：

x=jz k

y=lz m

线面求法

（1）三点式

则三点同时满足

ax0 by0 cz0 d=0

ax1 by1 cz1 d=0

ax2 by2 cz2 d=0

可得出a-b-c-d的关系，再把d取特殊值，解方程。

（2）点线式

可在线上找两个点，转化成三点式。

（3）双线式（不异面）

可在两个线上共找三个点，转化成三点式。得：ax by cz d=0

（4）线斜式

斜率：该平面和xOy平面的二面角的正切。

求法：设该平面为ax by cz d=0,xOy是z=0

即k=c/(a^2 b^2 c^2)且它通过y=kx b,z=lz a

根据判定，可得a-b-c-d的关系。再把d赋特殊值。

（5）两点式

用待定系数法求出k,l,m,n的关系，再取特殊值。

向量求法

直线：截取直线l上两点A（l,n,0）和B（k l,m n,1）方向向量为：AB=（k,m,1）

平面：取平面内三点：A(0,0,-d/c)B(1,1,-(d b a)/c)C(0,2,-(d 2b)/c)

AC=(0,2,-2b/c)AB=(1,1,-(a b)/c)

设向量n：(x,y,c)为平面的法向量，则

2y-2b=0 x y-(a b)=0

y=b x=a

则n=(a,b,c)为平面的一个法向量。

直线平面的关系

直线和直线：

设设直线方程为x=k1z l1,y=m1z n1和x=k2z l2,y=m2z n2

相交：两条直线所组成的方程组有实数解

平行：k1/k2=m1/m2且l1/l2≠n1/n2

异面：不相交也不平行

垂直：k1k2 m1m2=-1

直线和平面

设直线方程为x=kz b,y=lz a,平面方程为cx dy ez f=0,p=k l e,q=a b f

属于：p=0,q=0

平行：p=0,q≠0

相交：p≠0

垂直：k/c=b/d=e

平面和平面

设平面方程为ax by cz d=0和ex fy gz h=0，p=a/e,q=b/f,r=c/g,s=d/h

相交:不平行

平行：p=q=r≠s

垂直：ae bf cg=0

知识点总结

1.直线在平面内的判定

(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内。

(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则AB∈α。

(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a∈α。

(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P∈α，P∈β，β平行α，P∈a,a∥α，则a∈β。

(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a//α,A∈α，A∈b,b∥a,则b∈α。

2.存在性和唯一性定理

(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；

(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；

(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；

(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；

(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；

(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；

(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；

(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个。

3.射影及有关性质

(1)点在平面上的射影：自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点。

(2)直线在平面上的射影：自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影，和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线。

(3)图形在平面上的射影：一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影。当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形。

(4)射影的有关性质：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短。

4.空间中的各种角等角定理及其推论定理

若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等。异面直线所成的角

(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。

(2)取值范围：0°<θ≤90°.

(3)求解方法：根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；解含有θ的三角形，求出角θ的大小。

5.直线和平面所成的角

(1)定义：和平面所成的角有三种：(i)垂线 面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角。

(2)取值范围：0°≤θ≤90°

(3)求解方法：作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.解含θ的三角形，求出其大小.最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角。

6.二面角及二面角的平面角

(1)半平面：直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面。

(2)二面角：条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角。二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°<θ≤180°。

(3)二面角的平面角：以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角。二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD。(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上。(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCDα，平面PCDβ。③找(或作)二面角的平面角的主要方法：(i)定义法。(ii)垂面法。(iii)三垂线法。(iiii)根据特殊图形的性质。

(4)求二面角大小的常见方法：先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值。利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小。利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小。

7.空间的各种距离点到平面的距离

(1)定义：面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

(2)求点面距离常用的方法：

1)直接利用定义求找到(或作出)表示距离的线段；抓住线段(所求距离)所在三角形解之。

2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离。

3)体积法其步骤是：在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；由V=S·h，求出h即为所求。这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离。难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算。

4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求。

8.直线和平面的距离

(1)定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.

(2)求线面距离常用的方法：直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之。将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之。作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离。

9.平行平面的距离

(1)定义：两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线。公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离。

(2)求平行平面距离常用的方法：直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之。把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之。

10.异面直线的距离

(1)定义：与异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离。任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段。

(2)求两条异面直线的距离常用的方法：（1）定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长。此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形。（2）转化法：为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。

定理口诀

点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。

立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。

异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。